FILOSOFÍA, GEOMETRÍA Y EL SER HUMANO

 

FILOSOFÍA, GEOMETRÍA Y EL SER HUMANO

La relación entre la geometría y el ser humano ha sido explorada por filósofos desde la antigüedad, revelando conexiones profundas en los ámbitos metafísico, epistemológico, ético y existencial. A continuación, se sintetizan algunas de las perspectivas filosóficas más relevantes.

 

Clase 1. La geometría como reflejo de lo divino y lo ideal (Platón)

Para Platón, la geometría constituía un puente entre el mundo sensible y el mundo de las Formas Ideales, eternas e inmutables. Figuras geométricas como el círculo o el triángulo representaban verdades absolutas, accesibles únicamente mediante la razón. El ser humano, al estudiar geometría, ejercitaba su alma para recordar su origen divino y ascender hacia el conocimiento puro.

Frase emblemática:

“Dios geometriza” (Deus geometrizat), atribuida a Platón, sugiere un orden cósmico estructurado matemáticamente.

Fuentes primarias

• Platón. La República. Libro VII (Alegoría de la caverna y papel de las matemáticas).
• Platón. Timeo. Trad. Gredos o Alianza.
• Platón. Fedón. Especialmente sobre el conocimiento del alma.

Estudios académicos

• Cornford, F. M. (1937). Plato’s Cosmology. Routledge.
• Koyré, A. (1957). From the Closed World to the Infinite Universe. Johns Hopkins University Press.
• Brisson, L. (1998). Plato the Myth Maker. University of Chicago Press.

 

Clase 2. Geometría y racionalidad humana (Descartes)

René Descartes vinculó la geometría con la filosofía a través de su método racionalista. En La Geometría (1637), propuso un sistema de coordenadas que unificaba álgebra y geometría, simbolizando la capacidad humana de reducir la realidad a principios claros y ordenados. Para Descartes, la mente (res cogitans) utiliza la geometría como herramienta para comprender y dominar la naturaleza (res extensa).

Legado:
El racionalismo cartesiano sostiene que la verdad surge de estructuras lógico-matemáticas innatas en el ser humano.

Fuentes primarias

• Descartes, R. (1637/1999). La Geometría. Alianza / Cátedra.
• Descartes, R. Discurso del método. Parte IV y VI.
• Descartes, R. Meditaciones metafísicas.

Estudios académicos

• Gilson, É. (1963). Descartes y el racionalismo. Rialp.
• Hatfield, G. (2003). Routledge Philosophy Guidebook to Descartes and the Meditations. Routledge.
• Koyré, A. (1968). Études cartésiennes. Gallimard.

 

Clase 3. La geometría como estructura a priori de la percepción (Kant)

Immanuel Kant argumentó en Crítica de la razón pura (1781) que el espacio y con él, la geometría euclidiana es una intuición a priori de la sensibilidad humana. No se trata de una propiedad del mundo en sí, sino de un marco mental que organiza nuestra experiencia. Así, la geometría revela cómo el ser humano “construye” la realidad.

Implicación:
La geometría no es empírica, sino una condición trascendental de la percepción.

Fuentes primarias

• Kant, I. (1781/2007). Crítica de la razón pura. Analítica y Estética trascendental.
• Kant, I. Prolegómenos a toda metafísica futura.

Estudios académicos

• Allison, H. (2004). Kant’s Transcendental Idealism. Yale University Press.
• Strawson, P. F. (1966). The Bounds of Sense. Routledge.
• Guyer, P. (1987). Kant and the Claims of Knowledge. Cambridge University Press.

 

Clase 4. Geometría y experiencia vivida (Fenomenología)

·         Edmund Husserl, en El origen de la geometría (1936), sostuvo que la geometría surge del mundo de la vida (Lebenswelt), es decir, de prácticas humanas concretas como medir tierras o navegar. La abstracción matemática es posterior a la experiencia cotidiana.

·         Maurice Merleau-Ponty, en Fenomenología de la percepción (1945), enfatizó que el espacio geométrico se origina en la corporalidad: moverse, tocar y orientarse son actos previos a toda abstracción matemática.

Fuentes primarias

• Husserl, E. (1936/2000). El origen de la geometría. Anthropos.
• Husserl, E. La crisis de las ciencias europeas.
• Merleau-Ponty, M. (1945/1993). Fenomenología de la percepción. Península.

Estudios académicos

• Derrida, J. (1962). Introducción a El origen de la geometría de Husserl. Siglo XXI.
• Moran, D. (2000). Introduction to Phenomenology. Routledge.
• Gallagher, S. (2005). How the Body Shapes the Mind. Oxford University Press.

 

Clase 5. Geometría simbólica y cultura (Cassirer y la antropología)

Para Ernst Cassirer, la geometría es una forma simbólica mediante la cual el ser humano estructura su comprensión del mundo. En diversas culturas antiguas como Egipto, Grecia o Mesoamérica, las figuras geométricas presentes en el arte, la arquitectura y los rituales expresan cosmovisiones y valores éticos.

Ejemplo:
El círculo simboliza la eternidad en culturas orientales y la perfección en Occidente, reflejando aspiraciones humanas universales.

Fuentes primarias

• Cassirer, E. (1923–1929). Filosofía de las formas simbólicas (Vol. I–III).
• Cassirer, E. (1944). An Essay on Man. Yale University Press.

Estudios académicos

• Panofsky, E. (1955). Meaning in the Visual Arts. University of Chicago Press.
• Lévi-Strauss, C. (1962). El pensamiento salvaje. FCE.
• Eliade, M. (1957). Lo sagrado y lo profano. Guadarrama.

 

Clase 6. Ética y armonía cósmica (Pitagóricos)

Los pitagóricos vincularon la geometría con la ética, afirmando que el universo se rige por proporciones matemáticas, como la tetraktys. La armonía geométrica por ejemplo, la sección áurea era considerada un modelo para una vida equilibrada, conectando la virtud humana con el orden cósmico.

Síntesis: ¿qué revela esta relación?

1.   Metafísica: la geometría como lenguaje del cosmos y vía para trascender lo material.

2.   Epistemológica: la mente humana estructura la realidad mediante formas geométricas.

3.   Existencial: el cuerpo y la cultura dan sentido a la abstracción geométrica.

4.   Ética: la búsqueda de proporción y orden refleja aspiraciones morales.

En palabras de Albert Einstein:

“¿Cómo es posible que la matemática, un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, se ajuste tan admirablemente a los objetos de la realidad?”

Esta pregunta resume el misterio y la profunda conexión entre la geometría y el ser humano.

Fuentes primarias

• Jámblico. Vida pitagórica.
• Filolao (fragmentos, en Diels-Kranz).
• Aristóteles. Metafísica, Libro I.

Estudios académicos

• Burkert, W. (1972). Lore and Science in Ancient Pythagoreanism. Harvard University Press.
• Huffman, C. (1993). Philolaus of Croton. Cambridge University Press.
• Kahn, C. (2001). Pythagoras and the Pythagoreans. Hackett.

 

 

CLASES POR CADA PUNTO PROPUESTO.

 

 

DESARROLLO DE LA CLASE

 

LA GEOMETRÍA EN EL PENSAMIENTO PLATÓNICO: PUENTE ENTRE LO DIVINO Y LO HUMANO

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA. ¿ Cómo cambia nuestra manera de vivir si empezamos a percibir la realidad como un reflejo de algo más grande y ordenado, en lugar de un conjunto de eventos aislados?

Para Platón, la geometría no era una simple herramienta práctica, sino una disciplina sagrada capaz de revelar la estructura profunda de la realidad. En su diálogo Timeo, el filósofo describe un cosmos ordenado por principios matemáticos, donde el Demiurgo (artífice divino) modela el mundo sensible a partir de las Formas Ideales, utilizando figuras geométricas como arquetipos.

Los sólidos platónicos tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro se asocian a los elementos fundamentales (fuego, tierra, aire, agua y éter), lo que evidencia que la materia está subordinada a esquemas matemáticos eternos. Esta concepción sintetiza la idea atribuida al platonismo de que “Dios geometriza”: el universo es expresión de una inteligencia divina y puede leerse como un texto escrito en el lenguaje de las formas y las proporciones.

1. Geometría y el Mundo de las Formas

Las figuras geométricas perfectas como el círculo o el triángulo equilátero existen únicamente en el Mundo de las Formas, accesible solo mediante la noesis (razón pura). Las representaciones sensibles, como dibujos en la arena o figuras talladas en madera, son copias imperfectas y efímeras de esas realidades ideales.

El estudio de la geometría permite al alma trascender lo sensible y contemplar verdades inmutables. Este proceso se vincula con la teoría de la anamnesis, según la cual conocer es “recordar” aquello que el alma conocía antes de encarnarse en el cuerpo, cuando habitaba en el ámbito de las Formas.

 

2. La geometría como educación del alma

En la entrada de la Academia platónica se leía la célebre frase: “Que no entre aquí quien no sepa geometría”. Esta advertencia subrayaba que la geometría era un ejercicio espiritual, además de intelectual. Resolver problemas geométricos ayudaba al filósofo a purificar su alma de las ilusiones sensoriales y a prepararla para el ascenso hacia el Bien Supremo, la Forma que unifica y da sentido a todas las demás.

La abstracción que exige la geometría por ejemplo, concebir un triángulo sin referirse a ningún objeto material funciona como un entrenamiento para la dialéctica, el método filosófico que conduce al conocimiento de las Ideas.

 

3. Orden cósmico y ética

La expresión “Dios geometriza” sugiere que la armonía matemática del cosmos refleja la racionalidad divina. Para Platón, esta estructura no es neutral, sino que conlleva un imperativo ético. Así como el universo se rige por proporciones y equilibrios, el ser humano debe buscar la armonía interior mediante el equilibrio entre razón, ánimo y deseos, como se expone en La República.

De este modo, la geometría no solo explica el mundo, sino que también ofrece un modelo de virtud: la justicia, la templanza y la sabiduría pueden entenderse como relaciones proporcionales precisas dentro del alma humana.

 

4. Legado y controversias

Aunque la atribución literal de la frase Deus geometrizat a Platón es discutible pues aparece con mayor claridad en contextos neoplatónicos y renacentistas, resume adecuadamente su visión de un universo gobernado por leyes matemáticas. Este ideal influyó en pensadores como Kepler, quien buscó explicar las órbitas planetarias mediante los poliedros platónicos, y en los artistas del Renacimiento, fascinados por la perspectiva como reflejo de un orden trascendente.

No obstante, la separación radical entre el mundo sensible y el inteligible plantea una paradoja: si la geometría existe solo en el reino de las Ideas, ¿cómo puede aplicarse con tanta precisión a la naturaleza física? Para Platón, esta correspondencia confirma que lo material es un reflejo imperfecto de lo divino; para críticos como Aristóteles, en cambio, se trata de una contradicción que exige un enfoque más empírico.

 

Conclusión

En el platonismo, la geometría es mucho más que una ciencia: es una vía de ascenso espiritual. Al contemplar sus verdades, el ser humano no solo comprende el cosmos, sino que se reintegra simbólicamente a su origen divino. En un mundo moderno dominado por el materialismo, esta visión continúa desafiándonos a buscar lo eterno en lo transitorio y lo absoluto detrás de lo aparente.

 

EJEMPLOS

1.   Organización del tiempo personal
Cuando una persona distribuye su día equilibrando trabajo, descanso y ocio, imita el principio platónico de proporción y armonía, similar al equilibrio matemático que rige el cosmos.

2.   Arquitectura y espacios habitables
Una casa bien diseñada, donde las proporciones generan sensación de orden y calma, refleja la idea platónica de que la belleza surge de relaciones matemáticas correctas.

3.   Toma de decisiones éticas
Elegir con mesura entre el deseo impulsivo y la razón práctica es comparable a resolver un problema geométrico: se busca el punto justo, no el exceso ni la carencia.

4.   Educación y pensamiento abstracto
Cuando un estudiante aprende a pensar más allá de lo concreto (por ejemplo, entendiendo conceptos matemáticos sin objetos físicos), está entrenando su mente como proponía Platón para elevar el alma hacia lo inteligible.

5.   Arte y diseño visual
El uso consciente de simetría, perspectiva y proporción en el arte o el diseño gráfico cotidiano (logos, afiches, fotografía) manifiesta cómo la geometría sigue siendo un puente entre lo sensible y lo ideal.

 

ACTIVIDADES ENFOCADAS A PROYECTOS CON ENFASIS EN LOS TRES SABERES.

 

 

1. SABER CONOCER (Comprensión conceptual)

Actividad 1: Análisis guiado del texto

Objetivo:
Comprender la relación entre geometría, Mundo de las Formas y conocimiento verdadero en el pensamiento platónico.

Descripción:
Los estudiantes leen el texto y responden preguntas abiertas como:

·         ¿Por qué la geometría no pertenece al mundo sensible?

·         ¿Qué significa que el conocimiento sea “recordar”?

·         ¿Cómo se relaciona la geometría con el Bien Supremo?. MINIMO UNA PAGINA.

El docente orienta la discusión enfatizando la diferencia entre lo sensible y lo inteligible.

Competencia:
Interpreta textos filosóficos reconociendo ideas centrales y relaciones conceptuales.

 

Actividad 2: Glosario filosófico razonado

Objetivo:
Identificar y explicar los conceptos clave del texto platónico.

Descripción:

CADA ESTUDIANTE DEBE EXPLICAR EL CONCEPTO DE LOS SIGUIENTES TERMINOS, SOLO DE ACUERDO AL TEXTO con palabras propias y relacionarse con la geometría.

Geometría sagrada

 

Mundo sensible

 

Mundo inteligible

 

Forma Ideal

 

Demiurgo

 

Cosmos ordenado

 

Sólidos platónicos

 

Elemento

 

Noesis

 

Anamnesis

 

Abstracción

 

Dialéctica

 

Bien Supremo

 

Armonía cósmica

 

Proporción

 

Equilibrio del alma

 

Virtud

 

Justicia

 

Conocimiento verdadero

 

Ilusión sensible

 

Competencia:
Construye conocimiento conceptual a partir de textos filosóficos.

 

Actividad 3: Pregunta filosófica escrita

Objetivo:
Desarrollar comprensión profunda a través del cuestionamiento filosófico.

Descripción:
Los estudiantes responden por escrito:

¿Por qué, según Platón, estudiar geometría prepara al alma para la filosofía? MINIMO MEDIA PAGINA.

La respuesta debe basarse exclusivamente en el documento.

Competencia:
Argumenta ideas filosóficas con coherencia y fundamento textual.

 

2.SABER HACER (Aplicación y pensamiento crítico)

Actividad 1: Interpretación de una frase

Objetivo:
Aplicar el contenido filosófico a la interpretación de ideas abstractas.

Descripción:
Se trabaja la frase “Dios geometriza”.
Los estudiantes escriben MINIMO MEDIA PAGINA explicando su significado según el documento, relacionándolo con el orden del cosmos y la ética.

Competencia:
Aplica conceptos filosóficos para interpretar ideas simbólicas.

 

Actividad 2: Ensayo breve reflexivo

Objetivo:
Desarrollar habilidades de escritura argumentativa.

Descripción:
Redacción MINIMO MEDIA PAGINA :

¿Por qué la geometría es, para Platón, una vía de ascenso espiritual?

Debe incluir ejemplos como los sólidos platónicos o la educación del alma.

Competencia:
Produce textos argumentativos con base en ideas filosóficas.

 

Actividad 3: Diálogo filosófico dirigido

Objetivo:
Ejercitar la dialéctica como método de reflexión.

Descripción:
EN PAREJAS los estudiantes dialogan sobre la pregunta:

¿Puede la geometría enseñarnos a vivir mejor?

El docente modera para asegurar argumentos basados en el texto. MINIMO UNA PAGINA.

Competencia:
Participa en diálogos reflexivos utilizando argumentos racionales.

 

3. SABER SER (Formación ética y personal)

Actividad 1: Reflexión personal escrita

Objetivo:
Relacionar el orden cósmico con la vida personal.

Descripción:
Los estudiantes escriben MINIMO MEDIA PAGINA:

¿Cómo puedo aplicar la idea de armonía platónica a mi vida diaria?

Se vincula la geometría con equilibrio interior, razón y autocontrol.

Competencia:
Reflexiona críticamente sobre su conducta a partir de ideas filosóficas.

 

Actividad 2: Diario de pensamiento

Objetivo:
Fomentar la introspección y el autoconocimiento.

Descripción:
Durante una semana, el estudiante registra reflexiones sobre:

·         Orden

·         Equilibrio

·         Razón frente a deseos
Relacionándolos con la idea platónica de armonía.

Competencia:
Desarrolla conciencia ética y pensamiento reflexivo.

 

Actividad 3: Debate ético

Objetivo:
Formar criterio personal frente al materialismo moderno.

Descripción:
EN PAREJAS Debate :

¿Qué perdemos cuando solo creemos en lo material?

Se fundamenta en la conclusión del texto. MINIMO UNA PAGINA.

Competencia:
Asume posturas críticas y respetuosas frente a problemas filosóficos actuales.

 

Proyecto final integrador

Proyecto: “Geometría, orden y sentido de la vida”

Objetivo general:
Integrar los tres saberes mediante una reflexión filosófica personal inspirada en el pensamiento platónico.

Descripción:
EN PAREJAS elaboran un producto libre (ensayo extenso, cuaderno reflexivo, presentación argumentada o manifiesto filosófico) donde responda:

·         ¿Qué nos enseña la geometría platónica sobre el cosmos?

·         ¿Cómo educa el alma?

·         ¿Qué valor tiene hoy frente a una visión materialista del mundo?

Debe incluir:

·         Conceptos del texto (saber conocer)

·         Argumentación propia (saber hacer)

·         Reflexión ética personal (saber ser)

Competencia final:
Integra conocimientos filosóficos para interpretar la realidad, argumentar críticamente y orientar su vida de manera reflexiva y ética.

 

Tesis que sostiene el autor

La tesis central del autor sostiene que, para Platón, la geometría es un puente entre lo divino y lo humano, ya que no solo explica el orden del cosmos, sino que también cumple una función espiritual, ética y educativa. A través de la geometría, el alma humana se eleva desde el mundo sensible hacia el Mundo de las Formas, recordando verdades eternas y entrenándose para alcanzar el Bien Supremo. Así, la geometría es presentada como una vía de conocimiento, formación moral y armonía interior, reflejo de una inteligencia divina que estructura la realidad.

 

Clase 2. Geometría y racionalidad humana (Descartes)

René Descartes vinculó la geometría con la filosofía a través de su método racionalista. En La Geometría (1637), propuso un sistema de coordenadas que unificaba álgebra y geometría, simbolizando la capacidad humana de reducir la realidad a principios claros y ordenados. Para Descartes, la mente (res cogitans) utiliza la geometría como herramienta para comprender y dominar la naturaleza (res extensa).

Legado:
El racionalismo cartesiano sostiene que la verdad surge de estructuras lógico-matemáticas innatas en el ser humano.

 

DESARROLLO DE LA CLASE

 

GEOMETRÍA Y RACIONALIDAD EN DESCARTES

LA MATEMÁTICA COMO HERRAMIENTA DE DOMINIO SOBRE LA NATURALEZA

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA. ¿Si dividimos los problemas complejos en partes simples para resolverlos racionalmente, ¿qué aspectos de la experiencia humana (emociones, creatividad, ética) quedan fuera de este enfoque?

1. La unificación de la geometría y el álgebra: la revolución cartesiana

René Descartes, en su obra La Géométrie (1637), logró una transformación radical del pensamiento matemático al fusionar la geometría clásica con el álgebra mediante la creación del sistema de coordenadas cartesianas. Gracias a este sistema, las figuras geométricas pudieron expresarse como ecuaciones matemáticas y, a la inversa, las ecuaciones representarse como formas espaciales.

Esta innovación permitió convertir los problemas geométricos en problemas algebraicos susceptibles de resolución analítica. Como consecuencia, el estudio de la naturaleza se simplificó y se volvió más preciso, facilitando un análisis cuantitativo de fenómenos como el movimiento, la óptica y la astronomía. Al matematizar la realidad, Descartes sentó las bases de una ciencia predictiva, sistemática y aplicable.

2. Racionalidad y método: el control de la naturaleza mediante la razón

En el Discurso del método (1637), Descartes propuso un enfoque racional basado en la duda metódica y en la división de los problemas complejos en partes simples. Este método buscaba alcanzar conocimientos claros y distintos, guiados exclusivamente por la razón.

Para Descartes, la naturaleza debía explicarse mediante leyes universales y necesarias, excluyendo explicaciones cualitativas o teleológicas propias del pensamiento aristotélico. La realidad natural, concebida como res extensa, funcionaba como un sistema mecánico gobernado por relaciones matemáticas. De este modo, la razón humana no solo podía comprender la naturaleza, sino también dominarla y transformarla a través de tecnologías fundamentadas en principios matemáticos.

3. Mecanicismo y objetivación de la naturaleza

La distinción cartesiana entre res cogitans (mente) y res extensa (materia) consolidó una visión mecanicista del mundo natural. Según esta concepción, los fenómenos físicos podían explicarse como interacciones de partículas en movimiento, regidas por leyes matemáticas exactas.

Esta perspectiva despojó a la naturaleza de cualidades subjetivas, convirtiéndola en un objeto mensurable, calculable y manipulable. Un ejemplo claro es la óptica cartesiana, que utilizó principios geométricos para predecir el comportamiento de la luz, permitiendo el desarrollo de lentes, microscopios y telescopios, instrumentos fundamentales para el avance científico y tecnológico.

4. Implicaciones históricas y críticas del enfoque cartesiano

El pensamiento cartesiano fue decisivo para la Revolución Científica de los siglos XVII y XVIII, al sustituir el aristotelismo por un paradigma matemático-experimental. Científicos como Isaac Newton ampliaron este enfoque al formular leyes universales mediante el uso del cálculo y la geometría.

No obstante, esta visión también recibió críticas. Filósofos como Edmund Husserl advirtieron que la matematización excesiva de la realidad puede alienar al ser humano de su experiencia vital (Lebenswelt). Por su parte, corrientes ecológicas contemporáneas señalan que el afán de dominio racional sobre la naturaleza ha contribuido a su explotación desmedida. A pesar de ello, el legado cartesiano sigue vigente en disciplinas como la ingeniería, la física y la inteligencia artificial.

Conclusión: matemática y poder

Descartes estableció que la racionalidad matemática constituye el lenguaje oculto de la naturaleza y que su desciframiento otorga poder sobre ella. Su pensamiento no solo fundó la ciencia moderna, sino que también legitimó un proyecto civilizatorio basado en el control técnico-racional del mundo.

La geometría analítica simboliza esta síntesis: al traducir curvas en ecuaciones, el ser humano transforma el aparente caos natural en un orden manipulable, encarnando el ideal cartesiano del dominio de la naturaleza mediante la razón.

 

EJEMPLOS

1.   Uso del GPS en el celular
El GPS funciona gracias a sistemas de coordenadas cartesianas que permiten ubicar con precisión una posición en el espacio. Esto es una aplicación directa de la geometría analítica desarrollada por Descartes.

2.   Diseño de edificios y puentes
Ingenieros utilizan ecuaciones matemáticas para calcular fuerzas, distancias y resistencias de materiales, reduciendo la complejidad física a modelos cuantificables, tal como propone el método cartesiano.

3.   Lentes y gafas correctivas
El diseño de lentes se basa en principios geométricos de la óptica cartesiana, que permiten corregir la visión calculando con precisión la trayectoria de la luz.

4.   Programación y algoritmos
Al escribir un programa, un problema complejo se divide en pasos simples y lógicos, siguiendo el método cartesiano de descomposición racional para lograr soluciones eficientes.

5.   Predicción del clima
Los modelos meteorológicos traducen fenómenos naturales en ecuaciones matemáticas que permiten anticipar el clima, reflejando la idea cartesiana de una naturaleza gobernada por leyes matemáticas predecibles.

 

ACTIVIDADES ENFOCADAS A PROYECTOS CON ENFASIS EN LOS TRES SABERES.

 

 

1.SABER CONOCER

(Comprensión conceptual y teórica)

Actividad 1: “¿Qué cambió con Descartes?”

·         Objetivo:
Comprender la revolución cartesiana al unir geometría y álgebra.

·         Descripción:
Los estudiantes leen el apartado 1 del documento y responden preguntas guiadas:

¿Qué permitieron las coordenadas cartesianas?

¿Por qué la matemática facilitó el estudio de la naturaleza?

¿Qué significa “matematizar la realidad”?

·         Competencia:
Analiza textos filosóficos identificando ideas centrales y su impacto histórico.

 

Actividad 2: “La razón como método”

·         Objetivo:
Reconocer el papel del método racional en el conocimiento científico.

·         Descripción:
A partir del apartado 2, los estudiantes explican con sus propias palabras:

Qué es la duda metódica

Por qué Descartes rechaza explicaciones cualitativas

Cómo la razón permite el control de la naturaleza

·         Competencia:
Comprende cómo los métodos de pensamiento influyen en la construcción del conocimiento.

 

Actividad 3: “Naturaleza como máquina”

·         Objetivo:
Entender el mecanicismo cartesiano y la objetivación de la naturaleza.

·         Descripción:
EN PAREJAS LOS  estudiantes ESCRIBEN MINIMO UNA PAGINA.  explicando por qué, según el documento, la naturaleza se entiende como un sistema mecánico regido por leyes matemáticas.

·         Competencia:
Interpreta modelos explicativos de la realidad desde una perspectiva filosófica.

 

2.SABER HACER

(Aplicación y uso del conocimiento)

 

Actividad 1: “Explicación racional de un fenómeno”

·         Objetivo:
Usar el enfoque racional cartesiano para explicar la naturaleza.

·         Descripción:
Los estudiantes eligen un fenómeno simple (movimiento de un objeto, trayectoria de la luz) y explican cómo Descartes lo entendería desde leyes matemáticas, no desde cualidades subjetivas.

·         Competencia:
Usa modelos racionales para explicar fenómenos naturales.

 

Actividad 2: “La matemática como poder”

·         Objetivo:
Relacionar conocimiento matemático y control técnico.

·         Descripción:
Los estudiantes escriben un ejemplo actual (ingeniería, tecnología, IA) donde el control depende de modelos matemáticos, relacionándolo con la visión cartesiana. MINIMO MEDIA PAGINA.

·         Competencia:
Establece relaciones entre ideas filosóficas y desarrollos tecnológicos.

 

3.SABER SER

(Reflexión ética y actitud crítica)

Actividad 1: “¿Dominar o comprender la naturaleza?”

·         Objetivo:
Reflexionar críticamente sobre el dominio técnico de la naturaleza.

·         Descripción:
EN PAREJAS DEBANTEN SOBRE LAS PREGUNTAS, LUEGO ESCRIBEN MINIMO UNA PAGINA SOBRE LAS REFLEXIONES.  partir del apartado 4:

¿Es positivo dominar la naturaleza?

¿Qué riesgos menciona el texto?

·         Competencia:
Desarrolla pensamiento crítico frente al uso del conocimiento científico.

 

Actividad 2: “Ciencia y responsabilidad”

·         Objetivo:
Reconocer implicaciones éticas del pensamiento cartesiano.

·         Descripción:
Los estudiantes escriben MINIMO MEDIA PAGINA sobre cómo el control racional puede llevar tanto al progreso como a la explotación ambiental.

·         Competencia:
Asume posturas éticas frente al desarrollo científico y tecnológico.

 

Actividad 3: “El ser humano frente a la naturaleza”

·         Objetivo:
Cuestionar la visión objetivada de la naturaleza.

·         Descripción:
Los estudiantes explican si están de acuerdo con ver la naturaleza solo como objeto manipulable, usando argumentos del texto. MINIMO MEDIA PAGINA.

·         Competencia:
Argumenta de manera reflexiva sobre la relación ser humano–naturaleza.

 

Proyecto final integrador

Proyecto: “Matemática, razón y poder sobre la naturaleza”

·         Descripción:
EN GRUPOS (4)  los estudiantes elaboran un producto (cartilla, presentación o ensayo breve) donde:

Expliquen la tesis del texto

Describan cómo la matemática permitió dominar la naturaleza

Analicen una consecuencia positiva y una crítica de este enfoque

·         Producto final:
Exposición oral + documento escrito corto.

·         Propósito:
Integrar conocimiento, aplicación y reflexión ética, demostrando compreORnsión del legado cartesiano.

 

Tesis que sostiene el autor

El texto sostiene que René Descartes, al unificar geometría y álgebra y al establecer la racionalidad matemática como método universal, transformó la naturaleza en un objeto cuantificable y manipulable, sentando las bases de la ciencia moderna y legitimando un proyecto de dominio técnico sobre el mundo natural.
La matemática deja de ser solo un instrumento descriptivo y se convierte en una herramienta de poder, capaz de predecir, controlar y transformar la realidad.

 

Clase 3. La geometría como estructura a priori de la percepción (Kant)

Immanuel Kant argumentó en Crítica de la razón pura (1781) que el espacio y con él, la geometría euclidiana es una intuición a priori de la sensibilidad humana. No se trata de una propiedad del mundo en sí, sino de un marco mental que organiza nuestra experiencia. Así, la geometría revela cómo el ser humano “construye” la realidad.

Implicación:
La geometría no es empírica, sino una condición trascendental de la percepción.

 

 

DESARROLLO DE LA CLASE

 

LA GEOMETRÍA COMO INTUICIÓN A PRIORI EN KANT Y SU DIÁLOGO CON LAS GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA. ¿Cómo afecta a nuestra intuición y confianza en la experiencia directa saber que el espacio que percibimos no refleja necesariamente la verdadera estructura del universo?

1. Las intuiciones puras de espacio y tiempo en Kant

En la Crítica de la razón pura, Immanuel Kant sostiene que el espacio y el tiempo no son propiedades del mundo externo, sino formas puras de la intuición sensible. Estas formas funcionan como condiciones trascendentales que hacen posible toda experiencia.

·         Espacio: Es la forma del sentido externo. Gracias a él percibimos los objetos como exteriores, coexistentes y ordenados.

·         Tiempo: Es la forma del sentido interno. Organiza la sucesión de nuestros estados subjetivos y experiencias internas.

Según Kant, la geometría euclidiana constituye un conocimiento sintético a priori. Sus proposiciones por ejemplo, “la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°” son universales y necesarias, y no se derivan de la experiencia empírica, sino de la estructura misma de la mente humana.
El espacio, entendido como intuición pura, es necesariamente euclidiano, ya que es el marco que posibilita cualquier percepción espacial.

 

2. Las geometrías no euclidianas: un desafío a la necesidad kantiana

Durante el siglo XIX surgen las geometrías no euclidianas, especialmente las de Lobachevski (curvatura negativa) y Riemann (curvatura positiva). Estas geometrías plantean que:

·         La suma de los ángulos de un triángulo puede ser mayor o menor que 180°.

·         Las líneas paralelas pueden divergir o converger.

Estas ideas adquieren gran relevancia en el siglo XX con la teoría de la relatividad general de Einstein, donde el espacio-tiempo es dinámico y se curva en función de la masa y la energía. La física moderna describe el universo mediante geometría riemanniana, lo que sugiere que la estructura del espacio físico se determina empíricamente y no está fijada de antemano por la mente humana.

 

3. Tensión entre Kant y Einstein: ¿son compatibles?

a) Críticas a Kant

·         Si el espacio del universo resulta ser no euclidiano, entonces el conocimiento geométrico parecería depender de la experiencia, volviéndose a posteriori.

·         La física contemporánea muestra que la geometría del espacio depende de condiciones empíricas, como la distribución de masa y energía, lo que cuestiona su carácter necesario y universal.

b) Posibles defensas del kantismo

1.   Distinción entre fenómeno y noúmeno
El espacio físico en sí mismo (noúmeno) puede ser curvo, mientras que el espacio tal como lo percibimos (fenómeno) sigue siendo euclidiano, en tanto forma a priori de la sensibilidad.

2.   Intuición versus conceptualización
Las geometrías no euclidianas son construcciones conceptuales abstractas, no intuiciones puras. La mente humana sigue intuyendo el espacio de forma euclidiana, aunque pueda pensar conceptualmente otras geometrías.

3.   A priori dinámico (neokantismo)
Autores como Ernst Cassirer sostienen que las formas a priori no son rígidas, sino funcionales y adaptables a nuevos marcos científicos, sin perder su función trascendental.

 

4. Implicaciones filosóficas

·         Revisabilidad del a priori: Si la ciencia redefine el espacio, surge la pregunta de si el a priori kantiano es una convención revisable o una estructura necesaria.

·         Fisicalización del espacio: Mientras Kant entiende el espacio como una condición subjetiva de la experiencia, Einstein lo concibe como una entidad físico-relacional integrada en la dinámica del universo.

 

Conclusión: ¿sobrevive el kantismo?

La teoría de la relatividad general desafía la concepción kantiana al mostrar que la geometría del espacio puede ser empírica. Sin embargo, una lectura flexible de Kant permite distinguir dos niveles:

·         Nivel trascendental: El espacio como intuición pura, de carácter euclidiano, estructura nuestra percepción inmediata.

·         Nivel físico-matemático: Las geometrías no euclidianas funcionan como herramientas conceptuales para describir el universo, no como intuiciones sensibles.

La tensión permanece abierta: Kant enfatiza la subjetividad constitutiva del espacio, mientras que la física moderna apunta a su objetividad relacional. Una posible síntesis consiste en admitir que el marco kantiano opera en el ámbito fenoménico, mientras que la ciencia explora la realidad mediante conceptos teóricos que exceden la intuición directa.

 

EJEMPLOS

1.   Dibujar un triángulo en un cuaderno
Cuando dibujas un triángulo y mides sus ángulos, siempre suman 180°. Esto refleja cómo nuestra intuición espacial cotidiana sigue siendo euclidiana, tal como afirma Kant.

2.   Usar el GPS del celular
Aunque tú percibes las calles como rectas y paralelas, el GPS calcula trayectorias considerando la curvatura de la Tierra, mostrando la diferencia entre intuición cotidiana (euclidiana) y descripción científica (no euclidiana).

3.   Construcción de una casa
Los arquitectos usan geometría euclidiana porque coincide con nuestra percepción práctica del espacio, aun cuando sepan que, a gran escala, el espacio físico no es perfectamente plano.

4.   Viajar en avión
La ruta más corta entre dos ciudades no es una línea recta en el mapa, sino una curva sobre la superficie terrestre. Esto ilustra cómo la experiencia común difiere de la geometría real del espacio físico.

5.   Mirar una mesa
Percibes la mesa como un objeto estable en un espacio fijo y ordenado. Esa organización no proviene de la física moderna, sino de las formas a priori de tu sensibilidad, tal como describe Kant.

 

ACTIVIDADES ENFOCADAS A PROYECTOS CON ENFASIS EN LOS TRES SABERES.

 

 

1.SABER CONOCER (Comprensión conceptual)

Actividad 1: Análisis guiado de texto filosófico

Objetivo:
Comprender la noción kantiana de espacio como intuición pura y su relación con la geometría euclidiana.

Descripción:
Los estudiantes leen un fragmento adaptado del texto (sección 1). Luego responden preguntas orientadoras como:

·         ¿Por qué Kant considera que la geometría es un conocimiento sintético a priori?

·         ¿Qué significa que el espacio sea una forma de la sensibilidad?

Se realiza una socialización oral donde se contrastan respuestas.

Competencia:
Interpreta textos filosóficos identificando ideas centrales y relaciones conceptuales.

 

Actividad 2: Cuadro comparativo argumentado (no conceptual)

Objetivo:
Diferenciar el enfoque kantiano del enfoque de la geometría no euclidiana.

Descripción:
Los estudiantes elaboran un cuadro escrito donde expliquen, con frases completas:

·         Cómo concibe Kant el espacio.

·         Cómo lo concibe la física moderna según el texto.
Cada diferencia debe ir acompañada de una breve explicación.

Competencia:
Analiza críticamente distintas posturas teóricas sobre un mismo problema.

 

Actividad 3: Preguntas problematizadoras escritas

Objetivo:
Reconocer la tensión filosófica entre a priori y empiria.

Descripción:
Los estudiantes responden por escrito preguntas MINIMO UNA PAGINA. como:

·         ¿Por qué la relatividad general pone en duda la necesidad de la geometría euclidiana?

·         ¿Por qué esto no implica necesariamente que Kant esté equivocado?

Competencia:
Comprende problemas filosóficos a partir de argumentos teóricos.

 

2.SABER HACER (Aplicación y producción)

Actividad 1: Ensayo corto argumentativo

Objetivo:
Aplicar conceptos filosóficos a un problema concreto.

Descripción:
Los estudiantes redactan un texto MINIMO MEDIA PAGINA respondiendo:

¿Es posible que el espacio sea a la vez una intuición subjetiva y una realidad física?

Deben usar al menos dos ideas del documento.

Competencia:
Produce textos argumentativos usando conceptos filosóficos de manera coherente.

 

 

Actividad 2: Análisis de caso hipotético

Objetivo:
Relacionar filosofía y ciencia.

Descripción:
Se presenta el caso:

“Un científico afirma que como el universo es curvo, Kant estaba completamente equivocado.”

Los estudiantes deben escribir una respuesta crítica basándose en las defensas kantianas del texto. MINIMO MEDIA PAGINA.

Competencia:
Aplica conceptos filosóficos para evaluar afirmaciones científicas.

 

3.SABER SER (Actitudes y reflexión ética-intelectual)

Actividad 1: Diario reflexivo filosófico

Objetivo:
Fomentar la reflexión personal sobre el conocimiento.

Descripción:
Los estudiantes escriben una reflexión sobre:

·         ¿Debemos aceptar que todo conocimiento puede ser revisado?

·         ¿Qué valor tiene entonces el pensamiento filosófico?. MINIMO UNA PAGINA.

Competencia:
Reflexiona críticamente sobre el conocimiento y su carácter limitado.

 

Actividad 2: Autoevaluación argumentada

Objetivo:
Desarrollar conciencia del propio aprendizaje.

Descripción:
Los estudiantes responden:

·         ¿Qué idea del texto me resultó más difícil?

·         ¿Cambió mi forma de pensar sobre la ciencia y la verdad? MINIMO UNA PAGINA.

Competencia:
Evalúa de manera reflexiva su proceso de aprendizaje.

 

Proyecto final integrador (pequeño proyecto)

Proyecto: “¿El espacio está en la mente o en el universo?”

Descripción:
EN GRUPOS (4) los estudiantes elaboran un producto final a elegir:

·         Un texto argumentativo ilustrado

·         Un podcast corto

·         Una presentación oral con apoyo visual

El producto debe:

Explicar la postura de Kant.

Explicar el desafío de las geometrías no euclidianas.

Presentar la posible síntesis propuesta en el texto.

Objetivo del proyecto:
Integrar los saberes conocer, hacer y ser en una reflexión crítica sobre ciencia y filosofía.

Competencia integradora:
Analiza problemas filosóficos complejos articulando conocimiento teórico, argumentación crítica y reflexión personal.

 

Tesis que sostiene el autor

La tesis central del texto sostiene que la geometría como intuición pura y sintética a priori en Kant es profundamente tensionada por el surgimiento de las geometrías no euclidianas y la relatividad general, pero no queda completamente invalidada si se adopta una interpretación flexible del kantismo.

El autor defiende que:

·         La geometría euclidiana sigue teniendo validez en el nivel trascendental-fenomenológico (como forma de la intuición humana).

·         Las geometrías no euclidianas operan en el nivel físico-matemático, como construcciones conceptuales empíricamente aplicables al universo.

·         La tensión entre Kant y Einstein no se resuelve eliminando uno u otro, sino distinguiendo niveles de análisis: intuición vs. conceptualización, fenómeno vs. descripción científica del mundo.

En síntesis, el kantismo puede sobrevivir si se reconoce que la ciencia moderna no trabaja con intuiciones puras, sino con marcos teóricos revisables.

 

Clase 4. Geometría y experiencia vivida (Fenomenología)

·         Edmund Husserl, en El origen de la geometría (1936), sostuvo que la geometría surge del mundo de la vida (Lebenswelt), es decir, de prácticas humanas concretas como medir tierras o navegar. La abstracción matemática es posterior a la experiencia cotidiana.

·         Maurice Merleau-Ponty, en Fenomenología de la percepción (1945), enfatizó que el espacio geométrico se origina en la corporalidad: moverse, tocar y orientarse son actos previos a toda abstracción matemática.

 

DESARROLLO DE LA CLASE

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IDEAS DE MERLEAU-PONTY SOBRE EL CUERPO COMO MEDIADOR DEL ESPACIO

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA. ¿Cuánto de nuestra experiencia del mundo depende de sentirlo con el cuerpo y no solo de “pensarlo”?

1. Crítica al dualismo cartesiano

Merleau-Ponty rechaza la separación mente-cuerpo propuesta por Descartes. Para él, el cuerpo no es un objeto pasivo situado en el espacio, sino un cuerpo-sujeto (corps-sujet): un ente activo que, al mismo tiempo, constituye y experimenta el espacio.
A diferencia de la geometría clásica, que concibe el espacio como un contenedor abstracto, homogéneo y neutral, Merleau-Ponty sostiene que el espacio vivido (espace vécu) surge de la interacción corporal con el mundo. Por ejemplo, al caminar, la distancia a un objeto no se calcula de manera matemática, sino que se percibe y se “siente” según nuestra capacidad de movimiento, nuestro cansancio o nuestra intención.

2. Percepción corporal y saber pre-reflexivo

En Fenomenología de la percepción, Merleau-Ponty afirma que el cuerpo posee un conocimiento tácito anterior a toda reflexión consciente. Este saber pre-reflexivo se manifiesta en acciones cotidianas: al tomar un vaso, no calculamos su altura ni su peso con números, sino que la mano se ajusta automáticamente gracias a la memoria corporal.
Este saber hacer (savoir-faire) muestra que nociones espaciales como profundidad, equilibrio o simetría no nacen de abstracciones teóricas, sino de gestos y prácticas corporales habituales.

3. Esquema corporal e intencionalidad motora

El esquema corporal es la representación implícita que el sujeto tiene de su propio cuerpo en relación con el entorno. Gracias a él, podemos sentarnos en una silla sin mirarla o atravesar una puerta sin medirla visualmente.
La intencionalidad motora describe cómo los movimientos del cuerpo están orientados hacia metas concretas sin necesidad de mediación consciente. Así, conceptos geométricos como “longitud”, “dirección” o “proximidad” se encarnan en gestos como estirar los brazos, caminar cierta distancia o rodear un objeto.

4. Espacio vivido y espacio geométrico

Merleau-Ponty distingue entre el espacio vivido y el espacio geométrico. El primero es cualitativo y cargado de sentido: un rincón puede resultar acogedor, una escalera puede sentirse empinada o una puerta lejana si estamos cansados. El segundo, en cambio, es cuantitativo, abstracto y neutral.
Según el autor, el espacio geométrico surge como una abstracción del espacio vivido. Antes de medir con instrumentos estandarizados, el cuerpo mide con gestos: palmo a palmo, paso a paso. La experiencia corporal precede y fundamenta la medición matemática.

5. Incorporación de objetos y herramientas

Los objetos pueden integrarse al esquema corporal y funcionar como extensiones del cuerpo. Un ejemplo clásico es el bastón de una persona ciega, que deja de ser un objeto externo para convertirse en un medio de percepción.
De manera similar, al medir con una cuerda o una regla, estas herramientas se incorporan al movimiento corporal, mostrando que la geometría surge de la manipulación práctica del mundo.

6. Implicaciones pedagógicas

Desde esta perspectiva, enseñar geometría implica partir de la experiencia sensoriomotora. Actividades como medir el perímetro de un aula caminando, comparar la altura de una mesa con el largo del brazo o usar el propio cuerpo como referencia espacial permiten que la abstracción matemática se apoye en la memoria corporal. Esto favorece un aprendizaje más significativo y comprensible.

Conclusión

Para Merleau-Ponty, el cuerpo no está simplemente en el espacio: habita, construye y da sentido al espacio. La geometría no es solo un sistema de ideas abstractas, sino una expresión de nuestra corporalidad en diálogo con el mundo. Los conceptos geométricos están ya presentes en gestos cotidianos tan simples como alcanzar un objeto, rodear una mesa o desplazarse por una habitación.

 

EJEMPLOS

1.   Caminar por una habitación a oscuras
Una persona se desplaza por su casa sin encender la luz. No mide las distancias ni calcula ángulos: el cuerpo recuerda el espacio, evita los muebles y se orienta gracias al esquema corporal y a la memoria motora.

2.   Servir agua en un vaso
Al llenar un vaso, la mano regula la inclinación de la jarra y se detiene antes de que el agua se derrame. No hay cálculo matemático del volumen: el cuerpo “sabe” cuándo detenerse.

3.   Subir una escalera cuando estamos cansados
La misma escalera puede sentirse más empinada o larga al final del día. El espacio no cambia geométricamente, pero sí cambia el espacio vivido según el estado corporal.

4.   Medir una mesa con los brazos
Antes de usar una cinta métrica, una persona compara el ancho de una mesa extendiendo los brazos o usando la palma de la mano. La noción de longitud surge primero del gesto corporal.

5.   Usar un palo para alcanzar un objeto lejano
Al emplear un palo para bajar algo de una repisa alta, el objeto se incorpora al cuerpo como una extensión del brazo. La percepción del espacio se modifica según esta nueva posibilidad de acción.

 

ACTIVIDADES ENFOCADAS A PROYECTOS CON ENFASIS EN LOS TRES SABERES.

 

1. SABER CONOCER

(Comprender, analizar, interpretar conceptos)

 

 

Actividad 1: El cuerpo como sujeto del espacio

Objetivo:
Reconocer la crítica al dualismo cartesiano y la noción de “cuerpo-sujeto”.

Descripción:
A partir de ejemplos cotidianos (caminar, sentarse, alcanzar un objeto), los estudiantes explican por escrito cómo el cuerpo no calcula, sino que sabe actuar en el espacio.
Luego relacionan estas acciones con la idea de “saber pre-reflexivo”. MINIMO UNA PAGINA.

Competencia:
Explica la relación cuerpo–espacio desde una perspectiva fenomenológica.

 

Actividad 2: Geometría antes de las fórmulas

Objetivo:
Identificar cómo los conceptos geométricos surgen de la acción corporal.

Descripción:
Se analiza el ejemplo del documento: medir con el cuerpo (palmos, pasos) antes de usar instrumentos.
Los estudiantes explican cómo conceptos como distancia, longitud o proximidad existen antes de las unidades estándar. MINIMO MEDIA PAGINA.

Competencia:
Reconoce el origen corporal y práctico de los conceptos geométricos.

 

2. SABER HACER

(Aplicar, experimentar, actuar)

 

Actividad 1: Medir el aula con el cuerpo

Objetivo:
Experimentar la geometría desde el movimiento corporal.

Descripción:
EN 3 GRUPOS los estudiantes miden el perímetro del aula usando:

·         Pasos

·         Brazos extendidos

·         Cuerdas

Luego comparan resultados y reflexionan sobre las diferencias. Finalmente, se contrasta con una medición formal.

Competencia:
Aplica estrategias corporales y prácticas para comprender nociones geométricas.

 

Actividad 2: Incorporación de herramientas

Objetivo:
Comprender cómo los objetos se integran al esquema corporal.

Descripción:
Los estudiantes usan una cuerda para medir diferentes objetos sin separarla del cuerpo (la cuerda se sostiene y se mueve como extensión del brazo).
Reflexionan sobre cómo la herramienta “desaparece” como objeto y se vuelve parte de la acción.

Competencia:
Integra herramientas como extensión del cuerpo en actividades espaciales.

 

Actividad 3: Geometría en gestos cotidianos

Objetivo:
Reconocer conceptos geométricos en acciones diarias.

Descripción:
Cada estudiante elige una acción cotidiana (rodear una mesa, alcanzar un vaso, abrir una puerta) y describe:

·         Qué movimientos realiza

·         Qué nociones espaciales están implicadas (distancia, altura, volumen). MINIMO MEDIA PAGINA.

Competencia:
Identifica la presencia de la geometría en la acción corporal cotidiana.

 

3. SABER SER

(Actitudes, reflexión, valoración de la experiencia)

 

Actividad 1: El cuerpo como fuente de conocimiento

Objetivo:
Valorar el cuerpo como medio legítimo de conocimiento.

Descripción:
EN PAREJAS REFLEXIONAN SOBRE LA PREGUNTA LUEGO PRESEENTAN MINIMO MEDIA PAGINA.

¿Por qué solemos confiar más en fórmulas que en nuestro cuerpo?

Los estudiantes expresan su postura argumentando desde la experiencia vivida.

Competencia:
Valora el cuerpo como mediador fundamental del conocimiento.

 

Actividad 2: Diversidad corporal y espacio

Objetivo:
Reconocer que el espacio se vive de manera diferente según el cuerpo.

Descripción:
Se analizan situaciones como:

·         Estar cansado

·         Ser más alto o más bajo

·         Usar un objeto (bastón, mochila)

Los estudiantes reflexionan sobre cómo estas condiciones cambian la percepción del espacio. MINIMO UNA PAGINA.

Competencia:
Reconoce la diversidad corporal como factor en la experiencia espacial.

 

Actividad 3: Aprender con el cuerpo

Objetivo:
Fomentar una actitud crítica frente al aprendizaje abstracto.

Descripción:
Los estudiantes escriben una reflexión MINIMO MEDIA PAGINA sobre cómo aprender geometría desde el cuerpo puede facilitar la comprensión y hacer el aprendizaje más significativo.

Competencia:
Asume una postura crítica y reflexiva frente a los modos de aprender.

 

Proyecto final integrador

Proyecto: “La geometría que habita mi cuerpo”

Descripción:
En grupos, los estudiantes diseñan una experiencia práctica donde expliquen un concepto geométrico (perímetro, área, volumen, distancia) sin partir de fórmulas, sino desde:

·         El movimiento corporal

·         El uso de objetos cotidianos

·         La percepción espacial

Ejemplos:

·         Medir un espacio caminándolo

·         Comparar alturas con el cuerpo

·         Construir figuras usando el desplazamiento corporal

El proyecto incluye:

Experiencia práctica

Explicación reflexiva del proceso

Relación con las ideas de Merleau-Ponty

Producto final:
Presentación oral o demostración práctica.

Competencias integradas:

·         Comprende el origen corporal del conocimiento geométrico

·         Aplica la geometría desde la experiencia vivida

·         Valora el cuerpo como mediador del aprendizaje

 

Tesis que sostiene el autor

El cuerpo no es un objeto que ocupa un espacio previamente dado, sino el mediador fundamental mediante el cual el espacio es vivido, comprendido y constituido. La percepción, el movimiento y la acción corporal son el origen de conceptos espaciales y geométricos que luego se abstraen en sistemas formales.

En consecuencia:

·         El espacio no es primero geométrico, sino vivido.

·         La geometría surge de la experiencia corporal, del gesto, del movimiento y de la interacción con objetos y herramientas.

·         El conocimiento espacial es inicialmente pre-reflexivo, práctico y encarnado, antes de ser teórico o matemático.

 

Clase 5. Geometría simbólica y cultura (Cassirer y la antropología)

Para Ernst Cassirer, la geometría es una forma simbólica mediante la cual el ser humano estructura su comprensión del mundo. En diversas culturas antiguas como Egipto, Grecia o Mesoamérica, las figuras geométricas presentes en el arte, la arquitectura y los rituales expresan cosmovisiones y valores éticos.

Ejemplo:
El círculo simboliza la eternidad en culturas orientales y la perfección en Occidente, reflejando aspiraciones humanas universales.

  

DESARROLLO DE LA CLASE

 

                         GEOMETRÍA SIMBÓLICA EN ERNST CASSIRER

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA. ¿Podemos identificar figuras geométricas en nuestra arquitectura urbana, diseño de espacios o ropa que influyan en nuestro sentido de armonía, orden o espiritualidad, aunque no seamos conscientes de ello?

Análisis cultural de figuras geométricas como formas simbólicas

La teoría de las formas simbólicas de Ernst Cassirer (1874–1945) sostiene que el ser humano no accede a la realidad de manera directa, sino a través de símbolos culturalmente construidos. Lenguaje, mito, arte, religión y ciencia no reflejan pasivamente el mundo, sino que lo configuran simbólicamente.

Desde esta perspectiva, la geometría no es únicamente una herramienta matemática, sino un lenguaje simbólico que codifica significados metafísicos, espirituales y sociales. Cada cultura proyecta su cosmovisión en figuras geométricas, transformándolas en vehículos de sentido. A continuación se analizan diversos ejemplos culturales que ilustran esta función simbólica de la geometría.

 

1. Mandalas budistas: el círculo como unidad cósmica y psique humana

Simbolismo del círculo

En el budismo y el hinduismo, el mandala (del sánscrito “círculo”) representa la totalidad del cosmos y la integración del individuo dentro de un orden trascendente. Desde la mirada de Cassirer, el círculo no es una figura neutra, sino una forma simbólica que media entre lo finito (el ser humano) y lo infinito (el universo). Su estructura concéntrica refleja la doctrina de la interdependencia (pratītyasamutpāda), según la cual todos los fenómenos están interconectados.

Función ritual

Los mandalas se utilizan en prácticas meditativas como mapas de la conciencia. El recorrido desde la periferia hacia el centro (bindu) simboliza el tránsito del ego hacia la iluminación. Cassirer interpretaría este proceso como la capacidad humana de abstraer lo sagrado en formas geométricas, transformando el caos interior en orden simbólico.

Ampliación cultural

El simbolismo del círculo aparece en múltiples tradiciones:

·         los medicine wheels de los pueblos nativos americanos,

·         los rosetones góticos que filtran la luz divina,

·         el uroboros, serpiente que se muerde la cola.

En todos estos casos, el círculo encarna ideas de ciclicidad, eternidad y totalidad.

 

2. Pirámides egipcias: el triángulo y la ascensión espiritual

Geometría como escalera al cielo

Las pirámides egipcias no eran solo tumbas, sino dispositivos simbólicos destinados a facilitar el viaje del faraón hacia Ra, el dios solar. El triángulo, con su vértice orientado hacia el cielo, materializa la idea de ascenso vertical, conectando la base terrenal (el cuadrado) con lo celeste. Cassirer subrayaría cómo esta forma sintetiza la cosmología egipcia: jerarquía cósmica, dualidad tierra-cielo y creencia en la resurrección.

Precisión matemática y orden cósmico

La orientación astronómica de las pirámides alineadas con la constelación de Orión muestra que la geometría funcionaba como un código simbólico para vincular el microcosmos (Egipto) con el macrocosmos (el universo). El triángulo se convierte así en un símbolo activo que garantiza el equilibrio universal (Maat).

Comparaciones culturales

Este simbolismo de la verticalidad también se observa en:

·         los zigurats mesopotámicos,

·         los campanarios góticos.

En todos ellos, la forma geométrica expresa el anhelo humano de trascendencia.

 

3. Arte islámico: polígonos y la infinitud de Alá

Geometría anicónica

La prohibición islámica de representar figuras divinas o humanas impulsó el desarrollo de complejos patrones geométricos (girih). Para Cassirer, estos diseños constituyen una forma simbólica pura, en la que polígonos y arabescos encarnan la perfección divina y la infinitud de Alá, sin principio ni fin.

Unidad en la diversidad

Los mosaicos de la Alhambra o la Mezquita de Córdoba emplean repeticiones fractales (estrellas de seis, ocho o doce puntas) para expresar que la multiplicidad del mundo emana de una única fuente. Este principio refleja el tawhid, la unidad absoluta de Dios, y concibe el cosmos como un texto geométrico escrito por el Creador.

Dimensión filosófica

Pensadores como Alhacén relacionaron la geometría con la “luz divina”, mientras que el sufismo interpretó estos patrones como metáforas del camino espiritual, destacando figuras como el octógono, asociado al Trono de Alá.

 

4. Otras formas simbólicas en la geometría global

·         El cuadrado:

En China simboliza la Tierra y el orden confuciano.

En el cristianismo, la Jerusalén Celestial es una ciudad cuadrada, emblema de estabilidad y perfección.

·         La espiral:

En culturas celtas y precolombinas representa el ciclo vida–muerte–renacimiento.

En la ciencia moderna aparece en galaxias y en el ADN, uniendo mito y conocimiento científico.

·         El laberinto:

En Creta y en catedrales medievales como Chartres simboliza el viaje iniciático hacia el centro del ser.

 

5. Cassirer y la función antropológica de la geometría

Para Cassirer, el ser humano es un animal symbolicum que habita un universo de significados. La geometría, como forma simbólica, cumple tres funciones fundamentales:

1.   Expresión: materializa ideas abstractas (el círculo como eternidad).

2.   Organización: estructura el caos perceptivo (simetría, ejes, proporción).

3.   Trascendencia: permite acceder a realidades metafísicas (mandalas, arquitectura sagrada).

 

Conclusión: la geometría como espejo cultural

Cada figura geométrica es un palimpsesto de significados en el que convergen matemática, religión, arte y filosofía. Analizar la geometría desde Cassirer implica descifrar cómo las culturas han utilizado líneas, ángulos y proporciones para dialogar con el misterio de la existencia, transformando la materia en símbolos de lo inefable.

 

EJEMPLOS

1.   El reloj circular
El reloj analógico utiliza el círculo para representar el tiempo como un ciclo continuo, reforzando la idea cultural de repetición, rutina y retorno, más que de un tiempo lineal infinito.

2.   La distribución de una plaza pública
Muchas plazas tienen formas cuadradas o circulares que simbolizan orden, estabilidad y comunidad, organizando el espacio social y promoviendo la interacción.

3.   El anillo de matrimonio
Su forma circular simboliza compromiso eterno, unidad y continuidad afectiva, más allá de su función material.

4.   Las escaleras en espiral de edificios
Representan progreso, ascenso y transformación, evocando simbólicamente el crecimiento personal o profesional.

5.   El diseño de logotipos empresariales
Empresas usan círculos para transmitir armonía y confianza, triángulos para dinamismo o poder, y cuadrados para seguridad y solidez, demostrando que la geometría sigue operando como lenguaje simbólico en la cultura contemporánea.

 

ACTIVIDADES ENFOCADAS A PROYECTOS CON ENFASIS EN LOS TRES SABERES.

 

1.SABER CONCEPTUAL (comprender y explicar)

Actividad 1: “La figura habla”

Objetivo:
Comprender el concepto de forma simbólica aplicado a la geometría.

Descripción:
LOS ESTUDIANTES SE ORGANIZAN EN 6 GRUPOS Y SEGÚN LA FIGURA GEOMETRICA ASIGNADA DEBEN EXPLICAR POR ESCRITO SOLO CON INFORMACION DEL TEXTO (círculo, triángulo, polígono, espiral, cuadrado o laberinto).

·         Qué significa esa figura en una cultura específica.

·         Qué idea del mundo o de lo sagrado representa.

·         Por qué, según Cassirer, no es solo una figura matemática.

Competencia:
Interpreta conceptos filosóficos y culturales a partir de textos argumentativos.

 

Actividad 2: “Geometría y cultura: relación simbólica”

Objetivo:
Identificar la relación entre geometría y cosmovisión cultural.

Descripción:
A partir del texto, los estudiantes elaboran un texto explicativo MINIMO UNA PAGINA. respondiendo:

·         ¿Cómo una misma figura (ej. el círculo) puede tener significados similares en culturas distintas?

·         ¿Qué revela esto sobre el ser humano como animal symbolicum?

Competencia:
Analiza relaciones entre cultura, símbolo y pensamiento humano.

 

2.SABER PROCEDIMENTAL (aplicar y producir)

Actividad 1: “Lectura simbólica de una figura”

Objetivo:
Aplicar el análisis simbólico a una forma geométrica.

Descripción:
El estudiante selecciona una figura del texto y realiza un análisis escrito guiado:

1.   Cultura de origen

2.   Forma geométrica

3.   Significado simbólico

4.   Función (expresión, organización o trascendencia)

No se dibuja: se interpreta conceptualmente.

Competencia:
Aplica conceptos teóricos a casos culturales concretos.

 

3.SABER ACTITUDINAL (valorar y reflexionar)

 

Actividad 1: “Geometría, sentido y trascendencia”

Objetivo:
Desarrollar sensibilidad filosófica.

Descripción:
El estudiante escribe una breve meditación escrita:

·         ¿Qué figura geométrica le parece más significativa?

·         ¿Qué tipo de trascendencia expresa?. MINIMO UNA PAGINA.

No es opinión libre: debe conectarse con el documento.

Competencia:
Construye sentido personal a partir del pensamiento filosófico.

 

Proyecto final integrador (pequeño proyecto)

Proyecto: “Una figura, una cosmovisión”

Producto final:
EN GRUPOS DE (4) Un dossier escrito que incluya:

1.   Elección de una figura geométrica del texto

2.   Análisis cultural y simbólico (según Cassirer)

3.   Relación con una de las tres funciones de la geometría

4.   Reflexión final sobre lo que revela del ser humano

Objetivo del proyecto:
Integrar los saberes conceptual, procedimental y actitudinal para comprender la geometría como forma simbólica cultural.

Competencias integradas:

·         Interpretación filosófica

·         Análisis cultural

·         Pensamiento crítico y reflexivo

 

Tesis que sostiene el autor

La geometría no es solo un sistema matemático abstracto, sino una forma simbólica mediante la cual las culturas expresan, organizan y trascienden su comprensión del mundo, proyectando en figuras geométricas sus creencias metafísicas, religiosas y sociales.
Desde la perspectiva de Ernst Cassirer, las figuras geométricas funcionan como lenguajes culturales que median entre el ser humano y la realidad, revelando que el conocimiento humano es siempre simbólicamente construido.

En síntesis:
Cada figura geométrica actúa como un espejo cultural que traduce cosmovisiones, valores y experiencias espirituales.

 

Clase 6. Ética y armonía cósmica (Pitagóricos)

Los pitagóricos vincularon la geometría con la ética, afirmando que el universo se rige por proporciones matemáticas, como la tetraktys. La armonía geométrica por ejemplo, la sección áurea era considerada un modelo para una vida equilibrada, conectando la virtud humana con el orden cósmico.

 

Síntesis: ¿qué revela esta relación?

5.   Metafísica: la geometría como lenguaje del cosmos y vía para trascender lo material.

6.   Epistemológica: la mente humana estructura la realidad mediante formas geométricas.

7.   Existencial: el cuerpo y la cultura dan sentido a la abstracción geométrica.

8.   Ética: la búsqueda de proporción y orden refleja aspiraciones morales.

En palabras de Albert Einstein:

“¿Cómo es posible que la matemática, un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, se ajuste tan admirablemente a los objetos de la realidad?”

 

DESARROLLO DE LA CLASE

 

LA TETRAKTYS PITAGÓRICA, LA ARMONÍA MUSICAL Y LA VIRTUD HUMANA

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA. ¿De qué manera los conceptos de justicia, templanza, valentía y sabiduría podrían aplicarse para tomar decisiones éticas en la vida moderna, como en el trabajo o en las relaciones personales?

La tetraktys pitagórica, representada como un triángulo formado por diez puntos distribuidos en cuatro filas (1, 2, 3 y 4), fue el símbolo sagrado fundamental de la escuela pitagórica. Esta figura condensaba la esencia del cosmos, ya que reunía los primeros cuatro números naturales cuya suma es diez, número considerado perfecto. Para los pitagóricos, la tetraktys no solo explicaba el orden matemático del universo, sino también la estructura moral del ser humano.

1. La Tetraktys y la Armonía Musical

Los pitagóricos descubrieron que los principales intervalos musicales consonantes se basaban en proporciones numéricas simples, derivadas directamente de la tetraktys. Mediante la experimentación con cuerdas vibrantes, observaron que la música era una manifestación física de relaciones matemáticas universales:

·         Octava (2:1): una cuerda de longitud doble vibra a la mitad de la frecuencia de una más corta.

·         Quinta (3:2): produce un sonido estable y equilibrado.

·         Cuarta (4:3): funciona como complemento armónico de la quinta.

Estas proporciones estructuran las escalas musicales y fundamentan la idea de la armonía de las esferas, según la cual los cuerpos celestes emiten sonidos al desplazarse, regidos por las mismas razones numéricas. Así, la música se concebía como un puente entre lo sensible y lo cósmico.

2. Geometría, Proporción y Cosmos

La tetraktys trascendía el ámbito musical y simbolizaba la geometría del universo. Los números del uno al cuatro representaban los elementos (fuego, aire, agua y tierra), las estaciones del año y las dimensiones del espacio. Las proporciones aritméticas y geométricas eran entendidas como principios organizadores de la naturaleza, visibles en fenómenos como las espirales de las conchas o la disposición de los pétalos de las flores. Comprender estas proporciones significaba acceder al orden divino que estructura el cosmos.

3. Ética y Armonía del Alma

Para los pitagóricos, existía una analogía directa entre la armonía musical y la armonía interior del ser humano. Así como un instrumento desafinado produce sonidos discordantes, un alma desequilibrada genera vicios. Según esta concepción:

·         Las virtudes justicia, templanza, valentía y sabiduría funcionaban como proporciones éticas, mediando entre extremos de exceso y defecto.

·         La purificación del alma se alcanzaba mediante el estudio de las matemáticas y la música, disciplinas que afinaban el carácter y alineaban al individuo con el orden cósmico.

Este proceso de purificación, conocido como katharsis, conducía a la eudaimonia, entendida como una felicidad plena basada en la sintonía con el universo.

4. Educación y Ascenso Moral

La tetraktys también servía como modelo educativo. La enseñanza pitagórica se organizaba en cuatro disciplinas fundamentales, el quadrivium: aritmética, geometría, música y astronomía. El dominio de estas áreas permitía ascender desde el mundo sensible hasta los principios inteligibles, transformando al ser humano en un microcosmos que refleja el macrocosmos. De este modo, la virtud no era solo un comportamiento moral, sino una auténtica geometría viviente.

Conclusión: Unidad Cósmica y Ética

Para los pitagóricos, la tetraktys era un símbolo totalizador en el que convergían matemática, música, cosmología y ética. Vivir virtuosamente significaba encarnar las mismas proporciones que estructuran una sinfonía o una galaxia. El principio “todo está ordenado según el número” no era solo una afirmación científica, sino también un imperativo moral: ser armonía en un universo regido por relaciones eternas.

 

EJEMPLOS

1.   Organización del tiempo personal
Mantener un equilibrio entre trabajo, descanso, estudio y ocio refleja una proporción armónica similar a la tetraktys. El exceso o la carencia de alguna de estas áreas genera desequilibrio interior.

2.   Comunicación en las relaciones humanas
Hablar con moderación —ni imponerse ni callar en exceso— es una forma de “afinación ética”, comparable a la justa proporción de un intervalo musical consonante.

3.   Alimentación equilibrada
Una dieta armónica, sin excesos ni carencias, encarna la idea pitagórica de templanza como proporción entre extremos.

4.   Trabajo en equipo
Cuando cada miembro cumple su función en justa medida, el grupo funciona como una armonía musical: distintas voces que, bien proporcionadas, producen un resultado coherente.

5.   Gestión de emociones
Regular la ira, el miedo o la euforia evita la “disonancia del alma” y permite una vida más serena, alineada con el orden interior y exterior.

 

 

ACTIVIDADES ENFOCADAS A PROYECTOS CON ENFASIS EN LOS TRES SABERES.

 

1.SABER CONOCER (Comprensión conceptual)

Actividad 1: Análisis guiado del símbolo de la tetraktys

Objetivo:
Comprender el significado de la tetraktys como síntesis del orden cósmico y moral.

Descripción:
Los estudiantes leen el texto y responden preguntas orientadoras como:

·         ¿Por qué el número 10 es considerado perfecto?

·         ¿Qué representa cada nivel del triángulo (1, 2, 3, 4)?

·         ¿Por qué la tetraktys es más que una figura matemática?

Se realiza una discusión guiada en clase.

Competencia:
Interpreta textos filosóficos identificando ideas centrales y relaciones entre conceptos abstractos.

 

2.SABER HACER (Aplicación y análisis)

Actividad 1: Comparación entre armonía musical y virtud

Objetivo:
Aplicar la analogía entre música y ética presentada en el texto.

Descripción:
En parejas, los estudiantes elaboran ejemplos escritos donde comparen:

·         Un instrumento desafinado con una conducta viciosa.

·         Un intervalo armónico con una virtud. MINIMO UNA PAGINA

Luego socializan sus conclusiones.

Competencia:
Aplica conceptos filosóficos para interpretar situaciones humanas concretas.

 

3. SABER SER (Reflexión ética y personal)

Actividad 1: La armonía en la vida personal

Objetivo:
Reflexionar sobre el equilibrio personal como forma de virtud.

Descripción:
Los estudiantes escriben una reflexión breve respondiendo:

·         ¿En qué aspectos de mi vida hay armonía?

·         ¿Dónde hay “desafinación”?

Competencia:
Desarrolla conciencia ética sobre su propio comportamiento.

 

Proyecto final: “Vivir en armonía”

Título del proyecto:
La armonía del número en mi vida

Descripción:
EN GRUPOS DE (4) Los estudiantes elaboran un trabajo creativo (ensayo, afiche explicativo, presentación oral o escrito reflexivo) donde expliquen:

·         Qué es la tetraktys

·         Cómo se relaciona con la música y el cosmos

·         Cómo se puede vivir éticamente en armonía según el texto

Producto final:
Un documento o presentación que evidencie comprensión conceptual, aplicación ética y reflexión personal.

Competencia integradora:
Integra conocimientos filosóficos, matemáticos y éticos para reflexionar críticamente sobre su forma de vida.

 

Tesis que sostiene el autor

La tesis central del texto sostiene que la tetraktys pitagórica es un principio unificador que articula matemática, música, cosmos y ética, y que la virtud humana consiste en vivir en armonía con las proporciones numéricas que ordenan el universo.
Según el autor, la misma lógica matemática que estructura los intervalos musicales y el movimiento del cosmos debe gobernar el alma humana, de modo que la educación en matemáticas y música no solo desarrolla el intelecto, sino que purifica el carácter y conduce a una vida virtuosa.